jueves, 26 de mayo de 2011

MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO

El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre de un cuerpo en reposo.

 Movimiento parabólico (completo)

El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:
  1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
  2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
  3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

 Ecuaciones del movimiento parabólico

Tir parabòlic.png
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
  1.  \mathbf{v_0} = v_0 \, \cos{\phi} \, \mathbf{i} + v_0 \, \sin{\phi} \, \mathbf{j}
  2.  \mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}
donde:
 v_0 \, es el módulo de la velocidad inicial.
 \phi \, es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
 g \, es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:
 v_0 \, \cos{\phi} que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo  v_{0x} \,
 v_0 \, \sin{\phi} que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
En lo sucesivo  v_{0y} \,
Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:
 \mathbf{v_0} = v_{0x} \, \mathbf{i} + v_{0y} \, \mathbf{j}  : [ecu. 1]
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicio de  Ecuación de la aceleración
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
 \mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}
que es vertical y hacia abajo.

 Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectória parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

   \begin{cases}
      \mathbf{a}    = \cfrac{d\mathbf{v}}{dt} = -g \mathbf{i} \\
      \mathbf{v}(0) = v_{0x}\mathbf{i}+v_{0y}\mathbf{j}
   \end{cases}
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

   \mathbf{v}(t) = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j}

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

 Ecuación de la posición

Casting obliquely.gif
Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:

   \begin{cases}
      \mathbf{v} = \cfrac{d\mathbf{r}}{dt} = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j} \\
      \mathbf{r}(0) = x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j}
   \end{cases}
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

   \mathbf{r}(t) =
      (v_{0x} \; {t} + x_0)\, \mathbf{i} + 
      \left (
         - \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t+ y_0 
      \right)
      \, \mathbf{j}

La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.

Nótese que estamos solamente tratando el caso partícular en que factores como la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, etc., no introducen afectaciones apreciables. Vamos a considerar también que durante todo el recorrido la aceleración debido a la gravedad ( g ) permanece constante y que el movimiento es sólo de traslación.
Para facilitar el estudio del movimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direcciones horizontal y vertical. En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo y uniforme ya que en esa dirección la acción de la gravedad es nula y consecuente, la aceleración también lo es. En la dirección vertical, sobre el proyectil actúa la fuerza de gravedad que hace que el movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración constante.

Sea un proyectil lanzado desde un cañón. Si elegimos un sistema de referencia de modo que la dirección Y sea vertical y positiva hacia arriba, a y = - g y a x = 0. Además suponga que el instante t = 0, el proyectil deja de origen (X i = Y i = 0) con una velocidad Vi.

Si Vi hace un ángulo qi con la horizontal, a partir de las definiciones de las funciones sen y cos se obtiene:


Vxi = Vi cos θ
Vyi = Vi sen θi
Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A. Expresando estas en función de las proyecciones tenemos:
X = Vxit = Vi cos θi t
y = Vyi t + ½ at2
Vyf = Vyi + at
2ay = Vyf2 - Vyi2
Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-parabólico.


Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:
X = Vxi t
y = yo - ½ gt2
Recomendamos la realización de la práctica virtual Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad, donde se puede estudiar tanto el movimiento parabólico como el semi-parabólico.
Combinando las ecuaciones arriba explicadas para el movimiento parabólico podemos algunas obtener ecuaciones útiles:
- Altura máxima que alcanza un proyectil:

- Tiempo de vuelo del proyectil:

- Alcance del proyectil :

Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector a demostrar que para una velocidad dada el máximo alcance se logra con una inclinacion de 45o respecto a la horizontal.

Movimiento semiparabólico



Un objeto M se deja caer verticalmente y el otro objeto N se lanza en el mismo instante horizontalmente, el objeto N queda sometido a la acción de dos movimientos; uno horizontal sobre el eje x y uno vertical sobre el eje y.
Se le da el nombre de movimiento semiparabólico (lanzamiento horizontal) al movimiento que describe un pro­yectil cuando se dispara horizontalmente desde cierta altura con una velocidad ini­cial vo.
¿Cómo podemos determinar el tipo de movimiento de acuerdo a la trayectoria descrita por los cuerpos?
 

Movimiento Semiparabolico

Tipos de movimiento parabólico

Movimiento semiparabólico.[editar] Movimiento semiparabólico
El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre de un cuerpo en reposo.

[editar] Movimiento parabólico (completo)
El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

1.Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
2.La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
3.Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
[editar] Ecuaciones del movimiento parabólico
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1.
2.
donde:

es el módulo de la velocidad inicial.
es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:

que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

: [ecu. 1]
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

 Ecuación de la aceleración
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

que es vertical y hacia abajo.
 Ecuación de la velocidad
La velocidad...